Тесты по математике

Al. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

1) 15 2) 17 3) 19

Ответ: 1

Пояснение: 800:100%=8(р) — приходится на 1%

800-680=120(р) — на столько понизалась цена

120:8=15% -на 15% была понижена цена на футболку.

А2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха на 15 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия.

1) 5         2) 9             3) 11

Решение

Наибольшая температура воздуха 15 октября 11

Ответ: 11

 

АЗ. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке

1) 5         2) 10             3) 20

 Решение

Высота параллелограмма равна h=8-3=5 (это пунктир внутри параллелограмма)

Основанием берем вертикальную сторону, к которой проведен этот пунктир. Длина стороны а=3-1=2.

Площадь S=ah=5*2=10.

Ответ: 2

А4. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

1) 150000        2) 152000             3) 200000

 Решение.

Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости бруса 3600 · 40 = 144 000 руб. и стоимости доставки: 144 000 + 9800 = 153 800 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость бруса составляет 3800 · 40 = 152 000 руб., что превышает 150 000 руб., поэтому доставка бесплатна. Таким образом, стоимость заказа 152 000 руб.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости бруса 3700 · 7800 = 28860000 руб. и стоимости доставки бесплатно.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 152000 рублей.

Ответ: 2.

 

А5. Найдите корень уравнения:

1) 7               2) 17               3) -11

Решение

√(39-2x)=5

(√(39-2x))^2=5^2

39 — 2x = 25

-2x = 25 – 39

-2x = -14

x = 7

Ответ: 1) 7.

 

А6. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ =15, АН — высота, ВН = 3. Найдите cos ВАС.

1) 0                2)0,5                         3)1

Решение

Со сторонами 3 и 15. Чтобы cos(BAH) = 0.5 необходимо BH = AH, что не выполнимо при условии задачи (сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся стороны, а тут получилось вы 3 + 3 = 6 < 15, зачит такой треугольник не существует). Так что все-таки cos(BAC) = 1/5, либо неверно переписано условие

Треугольник АВС — равнобедренный, АС и ВС- боковые стороны, АВ – основание.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

ВАС = АВС, значит значение косинусов этих углов будет одинаковым.

Найдем значение косинуса угла В из треугольника ABH. Треугольник ABH – прямоугольный (AH – высота), AH и BH – катеты, АВ – гипотенуза.

Косинус угла- это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Cos B = BC : AB, по условию ВС = 3 см, АВ = 15 см.

Cos B = 3 : 15;

Cos B = 0,2.

Косинус угла ВАС  равен 0,2.

Ответ: 0,2

 

А7. Найдите значение выражения:.

1) 1               2)27                          3) 147

Решение

49^9 * 3^12 / 147^9=((49/147)^9)/3^12=3^9 /3^12=1/3^3=1/27

Ответ: 2)27

 

А8. На рисунке изображен график У ⁼ f’(^x) — производной функции /М, определенной на интервале (-2;10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=х— 17 или совпадает с ней.

1) 1               2) 3                 3) 4

Решение

Для параллельности необходимо совпадение угловых коэффициентов, которые равны производной в этой точке. У прямой y = x — 17 угловой коэффициент равен 1. Надо найти кол-во точек, где производная f'(x) = 1. На графике такие точки 3. Ответ: 3

Ответ: 2) 3

 

А9. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

1)2                 2)4                 3)5

Решение

В прямоугольном треугольнике DC1C применим терему Пифагора

Ответ: 3)5

 

А10. Найдите значение выражения

1) 1                2) 2                3) 31

Решение

= (√4³) · (1/4) = 2

4^6р = 4^(6/4=3/2) = (4³)^(1/2) = √4³ = √ (4·4·4) = √(4·4·2·2) = √ (4·4)·√(2·2) = 4·2

4^(-4·1/4) = 4^(-1) = 1/(4^1) = ¼

4·2·(1/4) = 4·2/4 = 2

Ответ: 2) 2

 

Решение

5^(2\3) * 5^(4\3) = 5^(2\3 + 4\3) = 5^(6\3) = 5^2 =  

a^m * a^n = a^(m+n)

Ответ: 1)

 

Решение

1\2 * 2^(log2 10) = 1\2 * 10 = 5

Ответ: 2) 5

 

А13. На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок

Решение

Нечётная функция изображена на графике №3

Ответ: 2)3

А14. Найдите область определения функции

Ответ: 1) (0;2)

 

А15. Укажите наибольшее значение функции у-1 —cos3x.

1) 1                                2) 2                                3) 0

Ответ: 2) 2

 

А16. На рисунке изображены графики функций у =/(х) и у — g (х), заданных на промежутке [-3; 6]. Найдите все значения х, для которых выполняется неравенство f(x)<g (х).

1) [-3; -1] и [1; 6]            2) [-1; 1]                    3) [-3; -2] и [2; 6]

Решение

Решение. Неравенство f (x) ≤ g(x) выполнено на промежутках, где график функции y = f(х) расположен не выше графика функции y = g (х) . Таким промежутком является отрезок [ 1; 1] − . Правильный ответ: 2.

Ответ: 2) [-1; 1]

 

А17. Укажите множество решений неравенства

Решение

Применим метод интервалов. Найдем корни уравнения, заменив частное в выражении, произведением:

( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) = 0;

Найдем корни уравнения.

Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Приравняем каждый сомножитель к нулю:

2х – 3 = 0;

2х = 3;

х = 3 : 2;

х1 = 1,5;

х + 2 = 0;

х2 = -2;

х – 6 = 0;

х3 = 6;

На координатной прямой найдем точки с координатами -2; 1,5; 6, которые расположатся слева направо.

Получим интервалы (- ∞; -2);(-2; 1,5); (1,5; 6) и (6; + ∞).

Чтобы определить знак неравенства на каждом из интервалов, возьмем какое-либо число из крайнего правого промежутка.

Например, 10. При х = 10, ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) > 0;

Тогда знаки последующих интервалов будет чередоваться:

При х ∈ (1,5; 6), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) < 0;

При х ∈ (-2; 1,5), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) > 0;

При х ∈ ( — ∞; -2), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) < 0;

Выберем те промежутки, где неравенство меньше нуля. Т.к. неравенство нестрогое, тогда неравенство верно при х ∈ ( — ∞; -2] ∪ [1,5; 6].

Ответ: 1)( — ∞; -2] ∪ [1,5; 6].

 

А18. Вычислите значение производной функции у = sinx — 2х в точке хо = 0.

1) 1                        2) 0                           3) -1

Решение

Поскольку производная разности равна разности производных, получим:

y’ = (sin(x) — 2x)’ = (sin(x))’ — (2x)’ = cos(x) — 2.

Подставим x0 = 0, в полученное уравнение для производной, тогда:

(y(0)’ = cos(0) — 2 = 1 — 2= -1.

Ответ: 3) -1

 

А19. Найдите область определения функции

Решение

1-log0.7(x)≥0

-log0.7(x)≥-1

log0.7(x)≤1

log0.7(x)≤log0.7(0.7)

Так как основание 0.7<1, то функция убывающая и знак неравенства меняется на противоположный

x≥0.7

Ответ: 1) [0.7; +ω)

 

А20. Найдите множество значений функции у=6^х—12.

1) (0; +оо)                  2) (-12; +оо)               3) [-12; +оо)

Решение

Множество значений показательной функции:

0< 6^x< ∞

0-12< 6^x-12< ∞-12

-12< 6^x-12< ∞

Итак множество значений данной функции (-12:∞)

Ответ: 2) (-12; +оо)

 

А21. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится пятнадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность покупки качественной сумки. Результат округлите до сотых.

1) 0,91          2)0,90            3)0,1

Решение

Всего сумок 150 — общее число исходов

без дефекта 150-15=135 — число благоприятных исходов

по определению вероятности получаем

Р=135/150=0,9

Ответ: 2) 0,90

 

А22. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна 288. Найдите высоту цилиндра.

1)48              2)24               3) 12

Решение

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, => d — диаметр цилиндра =а стороне основания призмы

Н -высота цилиндра = Н — высоте призмы

Sбок. пов. призмы=Pосн*H

Pосн=4*a, a=6. Росн=24

288=24*H, H=12

высота цилиндра Н=12

Ответ: 3) 12

 

А23. Сила тока в цепи / (в амперах) определяется напряжением в цепи и ™ ^vсопротивлением электроприбора по закону Ома: , где U — напряжение в вольтах, R— сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 25 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

1)0,11           2)   8,8          3)   5500

Решение

Значит, минимальное сопротивление электроприбора — 8,8 Ом.

Ответ: 2)      8,8

 

А24. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 35 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 48 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

1)20               2)   15           3)   10

Решение

2 ч 48 мин=2 4/5 ч=14/5 ч (48:60=4/5)

х — скорость велосипеда

х+35 — скорость автомобиля

60/х — время велосипеда

60/(х+35) — время автомобиля

60/х-60/(х+35)=14/5  (умножим на 5х(х+35))

300(х+35)-300х=14х(х+35)  (сократим на 2)

150(х+35)-150х=7х(х+35)

150х+5250-150х=7х2+245х

7х2+245х-5250=0  (сократим на 7)

х2+35х-750=0

D=35*35-4(-750)=1225+3000=4225;   Корень из D=65

х»=(-35-65):2=-100:2=-50 (не подходит по условию)

х=(-35+65):2=30:2=15 (км/ч)

скорость велосипедиста 15 км/ч

Ответ: 2) 15

 

А25. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [-14,5;0]

1) -154          2) -14,5                    3)0

Решение

производная = 11- 11/ (х+15) , она равна 0, если :

11х+165-11=0, х больше -15

11х= -154

х= -14 — принадлежит промежутку

ищем знач функции на концах промежутка и в стац точке х=-14

У ( — 14,5)= -159,5- 11* лог 0,5 приблизительно — 148,9

У (-14)= — 154

У (0)= 0- 11* лог 15= — 39

наименьшее — 154

Ответ: 1) -157